8. 根空间分解

Deepseek 生成的知识点总结

8.1 极大环面子代数与根（Maximal Toral Subalgebras and Roots）

根空间分解
- $L$ 可分解为极大环面子代数 $H$ 与根空间 $L_{α}$ 的直和： $L = H \oplus ⨁_{α \in Φ} L_{α},$ 其中 $Φ \subseteq H^{*}$ 是非零根的集合，且每个根空间 $L_{α} = {x \in L ∣ [h, x] = α (h) x, \forall h \in H}$ 。
根空间的性质
- 若 $α, β \in H^{*}$ ，则 $[L_{α}, L_{β}] \subseteq L_{α + β}$ 。
- 若 $α \neq 0$ 且 $x \in L_{α}$ ，则 ${ad}_{x}$ 是幂零的。
- 若 $α + β \neq 0$ ，则 $L_{α}$ 与 $L_{β}$ 在 Killing 形式下正交： $κ (L_{α}, L_{β}) = 0$ 。

8.2 H 的中心化子（Centralizer of H）

自中心化性
- $C_{L} (H) = H$ ，即 $H$ 是其自身的中心化子，且是极大阿贝尔子代数。
- 推论： $H$ 中无非零幂零元素，且 $H$ 的 Killing 形式限制是非退化的。

8.3 正交性质（Orthogonality Properties）

根的对偶性
- 对每个根 $α \in Φ$ ，存在唯一元素 $t_{α} \in H$ ，使得 $α (h) = κ (t_{α}, h)$ 对所有 $h \in H$ 成立。
- 定义 $h_{α} = \frac{2 t_{α}}{κ (t_{α}, t_{α})}$ ，则 $h_{α}$ 满足： $[h_{α}, x_{α}] = 2 x_{α}, [h_{α}, y_{α}] = - 2 y_{α}, [x_{α}, y_{α}] = h_{α},$ 其中 $x_{α} \in L_{α}$ 、 $y_{α} \in L_{- α}$ ，生成与 ${sl}_{2} (F)$ 同构的三维子代数。
根的对称性
- 若 $α \in Φ$ ，则 $- α \in Φ$ ，且 $L_{- α}$ 是 $L_{α}$ 的对偶空间。

8.4 整性性质（Integrality Properties）

根空间的维度
- 每个根空间 $L_{α}$ 是 1 维的，且若 $α \in Φ$ ，则 $c α \in Φ ⟹ c = \pm 1$ 。
Cartan 整数
- 对任意 $α, β \in Φ$ ，有 $β (h_{α}) \in Z$ ，称为 Cartan 整数，且满足： $β (h_{α}) = \frac{2 (β, α)}{(α, α)},$ 其中 $(β, α) = κ (t_{β}, t_{α})$ 。
根链（Root String）
- 对 $α, β \in Φ$ 且 $β \neq \pm α$ ，存在最大整数 $r, q \geq 0$ 使得： $β - r α, β - (r - 1) α, \dots, β + q α \in Φ,$ 且 $β (h_{α}) = r - q$ 。
不可约性
- 根链中所有 $β + k α (k \in Z)$ 的权空间均为 1 维，且根链的权值成等差数列。

8.5 理性性质与总结（Rationality Properties. Summary）

有理生成空间
- 根集 $Φ$ 生成有理向量空间 $E_{Q} = {span}_{Q} (Φ)$ ，其实数化 $E = R \otimes_{Q} E_{Q}$ 是欧几里得空间，配备正定的 Killing 形式。
根系的公理化性质
$Φ$ 构成一个 根系（Root System），满足以下公理：
1. 有限性： $Φ$ 有限且不包含零向量。
2. 生成性： $Φ$ 张成 $E$ 。
3. 对称性：若 $α \in Φ$ ，则 $- α \in Φ$ ，且无其他标量倍根。
4. 反射不变性：对任意 $α, β \in Φ$ ，有 $β - \frac{2 (β, α)}{(α, α)} α \in Φ .$
5. 整性条件： $\frac{2 (β, α)}{(α, α)} \in Z$ 。
几何意义
- 根的反射操作 $s_{α} (β) = β - β (h_{α}) α$ 保持根系 $Φ$ 的完整性。
- 根系的结构（如 Dynkin 图）唯一决定了半单李代数的同构类。

总结

根空间分解是半单李代数结构的核心框架，揭示了其对称性与局部 ${sl}_{2}$ -子代数的普遍存在性。
根系 $Φ$ 的几何性质（反射、整性、不可约性）为分类半单李代数（通过 Dynkin 图）提供了严格工具。
Cartan 整数 和根链的整性条件是根系反射对称性的代数体现，也是后续表示论与分类理论的基础。

正文．

在这一章中， $L$ 约定为一非零半单李代数，我们准备从伴随表示角度研究 $L$ 的结构细节，最主要的研究工具是 Killing form 及定理6.4（抽象Jordan分解与线性Jordan分解的关系））及定理7.2（不可约sl_2(F)-模的分类） ——这些定理都是 Weyl 定理的重要结果．读者应记住最重要的特殊情况 $L = {sl}_{2} (F)$ ，或更一般的 $L = {sl}_{n} (F)$ 的情况，来指引接下来要做什么．

极大环面子代数与根

环面子代数（toral subalgebra）

回忆： $L$ 是幂零的，当且仅当其所有元素是伴随表示幂零的（Engel定理）；若 $L$ 不是幂零的（而是半单的），我们可以找到 $x \in L$ 使得其在抽象 Jordan 分解中的半单部分 $x_{s}$ 是非零的．这说明 $L$ 中有非零的子代数（例如，由这些 $x_{s}$ 生成的子代数），包含这些半单元素．

定义：环面子代数（toral subalgebra）

称 $L$ 是环面子代数（toral subalgebra），若其所有元素均为半单的．

如下的引理与 Engel 定理很相似：

引理：环面子代数是平凡的

若 $L$ 是环面子代数，则 $L$ 是 Abel 代数．

证明： 令 $T$ 是环面子代数，我们只需说明 ${ad}_{T} x = 0$ ， $\forall x \in T$ ．由于 $ad x$ 可对角化（ $ad x$ 半单且 $F$ 代数闭），这等价于说明 ${ad}_{T} x$ 无非零特征值．

假设 ${ad}_{T} x$ 有非零特征值 $a$ ，使得存在非零特征向量 $y$ 使 $[x, y] = {ad}_{T} x (y) = a y$ ，则 ${ad}_{T} y (x) = - a y$ ．注意 ${ad}_{T} (y)$ 有零特征值的向量 $y$ ，且 $x$ 可表示为 ${ad}_{T} y$ 的一系列特征向量的线性组合（ ${ad}_{T} y$ 半单且 $F$ 代数闭，特征向量张成整个空间），于是

x = a_{0} y + a_{1} v_{1} + \dots a_{k} v_{k}, [y, v_{i}] = λ_{i} v_{i}

两侧用 ${ad}_{T} y$ 作用得

- a y = a_{1} λ_{1} v_{1} + \dots + a_{k} λ_{k} v_{k},

即 $y$ 与其余特征向量线性相关，矛盾！ $◻$

全体极大环面子代数在包含关系下有极大元：

定义：极大环面子代数（maximal toral subalgebra）

若环面子代数 $H$ 不包含在其它真环面子代数中，则称其为极大环面子代数．

笔者注：Cartan 子代数（Cartan subalgebra, CSA）

在 $L$ 半单的情况下，极大环面子代数与 Cartan 子代数（Cartan subalgebra, CSA） 等价，后者是一个更常用的名字．其定义为：
设 $L$ 为李代数，若 $H$ 为 L 的幂零子代数，并且等于其正规化子

H = C_{L} (H) = {x \in L : [x, H] \subset H}

则定义称 $H$ 为 $L$ 的Cartan 子代数．
后面会证明，对半单的情形，Cartan 子代数就是极大环面子代数．

极大环面子代数对定义根系非常重要，因此其计算需要注意．

例子：

{sl}_{n} (F)

的极大环面子代数

第一章中提到， ${sl}_{n} (F)$ 的一组基是

{e_{i j} : 1 \leq i \neq j \leq n} \cup {e_{i i} - e_{j j} : 1 \leq i < j \leq n} .

如果设 $H = {span}_{F} {e_{i i}, e_{j j} : 1 \leq i < j \leq n}$ ，则 $H$ 的各元素均为半单的（对角阵）．另一方面，注意到 $H$ 由 ${sl}_{n} (F)$ 所有对角基张成，因此其包含 ${sl}_{n} (F)$ 中全体对角阵，若另一子代数 $T$ 满足 $H ⪇ T$ ，则 $T$ 中必包含某非对角阵 $x$ ，从而 $x$ 非半单元，这就说明 $T$ 不是环面子代数．结论： $H$ 是极大环面子代数．

根、根系与根空间分解（Cartan 分解）

现固定一个极大环面子代数 $H < L$ ．由于 $H$ 是 Abel 的， ${ad}_{L} H \subset gl (L)$ 由 $L$ 中一系列两两可换的半单同态组成，线性代数的定理表明其可同时对角化：即 $L$ 存在一组基 $x_{1}, \dots, x_{i}$ 使得 $[H, x_{i}] \subset F x_{i}$ ．因此， $L$ 可表示为如下子空间直和：

L_{α} := {x \in L : [h, x] = α (h) x, \forall h \in H} .

这里 $α \in H^{*}$ ．注意到 $L_{0}$ 就是 $C_{L} (H)$ ，上述引理表明 $H < C_{L} (H) = L_{0}$ ．

当然，对任意的 $α \in H^{*}$ ，许多 $L_{α}$ 其实是零空间；那些非零空间才是我们想关注的．记 $$\Phi:={\alpha\in H^*:L_\alpha\neq 0}$$
则 $Φ$ 中的 $α$ 才是有效的．这一 $Φ$ 称为根系．

定义：根 (root）、根空间（root space）与根系（root system）

对 $L$ 为非零半单李代数， $H$ 为其极大环面李代数， $α \in H^{*}$ 为 $H$ 上线性泛函，使得空间

L_{α} := {x \in L : [h, x] = α (h) x, \forall h \in H}

非零，则称 $α$ 是 $L$ 的一个 根（root），对应的空间 $L_{α}$ 称为 根空间（root space），其集合

Φ := {α \in H^{*} : L_{α} \neq 0}

称为 $L$ 的 根系（root system）．

结合上面的事实，我们有：

定理：根空间分解（root space decomposition）／Cartan 分解（Cartan decomposition）

设 $Φ$ 为半单李代数 $L$ 的根系，则 $L$ 可分解为如下的子空间直和，称为 根空间分解（root space decomposition） 或 Cartan 分解（Cartan decomposition）：

L = C_{L} (H) \oplus ⨁_{α \in Φ} L_{α} .

这里 $C_{L} (H)$ 为 $H$ 在 $L$ 中的中心化子．

极大环面子代数的性质

在以下的章节中，我们将证明一个极其重要的性质，这在先前的笔者注中提到过：

性质：极大环面子代数与其中心化子相等

$H = C_{L} (H)$ ．

这一性质将用于进一步解释根的性质，最终得出根系可将半单李代数完全刻画出来的结论．

我们先从几个观察开始：

命题：根空间的一些重要性质

根空间的“李括号在相加之中”：对任意 $α, β \in H^{*}$ ，有 $[L_{α}, L_{β}] \subset L_{α + β}$ ；
根空间伴随表示幂零：若 $x \in L_{α}$ ， $α \neq 0$ ，则 $ad x$ 幂零；
不同的根空间在 Killing form 意义下正交：若 $α, β \in H^{*}$ ，且 $α \neq - β$ ，则 $κ (L_{α}, L_{β}) = 0$ ，这里 $κ$ 是 $L$ 中的 Killing form．

证明： 第一问．由 Jacobi 等式，

[h, [x, y]] = [[h, x], y] + [x, [h, y ∥ h, x], y] + [x, [h, y]] = α (h) [x, y] + β (h) [x, y] = (α + β) (h) [x, y] .

第二问．由于根有且仅有有限个（ $L$ 有限维），因此存在 $n$ 使对任意 $β \in Φ \cup {0}$ ， $n α + β$ 既非根又非零，由上一问就有

(ad x)^{n} (u) = [x, [x, [\dots [x, u] \dots]]] \overset{u \in L_{β}}{\in} L_{n α + β} = 0.

从而 $ad x$ 幂零．

第三问．取 $h \in H$ 使 $(α + β) (h) \neq 0$ ．若 $x \in L_{α}$ ， $y \in L_{β}$ ，则由 Killing form 的结合性得

κ ([h, x], y) = - κ ([x, h], y) = - κ (x, [h, y])

但 $x \in L_{α}, y \in L_{β}$ ，因此 $[h, x] = α (h) x, [h, y] = β (h) y$ ，因此

α (h) κ (x, y) = - β (h) κ (x, y) \Rightarrow (α + β) (h) κ (x, y) = 0

这就说明 $κ (x, y) = 0$ . $◻$

推论：Killing form 限制在

C_{L} (H)

上非退化

设 $L$ 半单， $H$ 为极大环面子代数， $L_{0} = C_{L} (H)$ ，则 $κ |_{L_{0}}$ 非退化．

证明： $L$ 半单，故 $κ$ 非退化．又 $L_{0}$ 与全体 $L_{α}$ 正交（由命题）若 $z \in L_{0}$ 与 $L_{0}$ 正交，由根空间分解知 $κ (z, L) = 0$ ，这要求 $z = 0$ .，这就说明 $κ |_{L_{0}}$ 也非退化． $◻$

有以上准备后，我们就可以证明极大环面子代数与其中心化子相等的性质了．我们先证明一个线性代数的引理：

线性代数引理

设 $x, y$ 为有限维线性空间上可交换的线性同态， $y$ 幂零，则 $x y$ 幂零；特别地， $tr (x y) = 0$ ．

证明： $(x y)^{n} = x^{n} y^{n} = 0$ . $◻$

定理：极大环面子代数与其中心化子相等

$H = C_{L} (H)$ ．

证明： 记 $C = C_{L} (H)$ ，分为如下几步走：

第一步： $C$ 包括其元素的半单及幂零部分． $x \in C_{L} (H)$ 蕴含 $ad x (H) = 0$ ，由 Jordan分解保持像空间的性质， $(ad x)_{s}$ 与 $(ad y)_{s}$ 同样将 $H$ 映为 $0$ ．但由抽象Jordan分解的定义， $(ad x)_{s} = ad x_{s}$ ， $(ad x)_{n} = ad x_{n}$ ，这就说明 $x_{s}, x_{n} \in C_{L} (H)$ ．

第二步： $C$ 中半单元素均在 $H$ 中． 若 $x$ 为 $H$ 的半单中心化元，则 $H + F x$ 是环面子代数：可换的半单元素之和也是半单的（注意 $x$ 半单元素定义为 $ad x$ 是半单同态；若 $x, y$ 可换，则 $ad x$ 与 $ad y$ 半单且可换——注意 Jacobi 等式给出 $[ad x, ad y] (u) = ad [x, y] (u)$ ，则它们可以同时对角化，从而 $ad (x + y)$ 是半单的，故 $x + y$ 也是半单的）．但 $H$ 极大，故 $H + F x \leq H$ ，从而 $x \in H$ ．

第三步： $κ$ 限制在 $H$ 上非退化． 只需证若 $h \in H$ ， $κ (h, H) = 0$ 则 $h = 0$ ．我们证明一个Claim：

Claim

若 $x \in C$ 幂零，则 $κ (x, H) = 0$ ．

Claim 的证明． 由 $x \in C$ 幂零，则 $ad x$ 幂零；又 $[x, H] = 0$ ，故对任意 $y \in H$ 有 $ad y (x) = 0$ ．因此对 $y \in H$ 有 $tr (ad x ad y) = 0$ ，即 $κ (x, H) = 0$ ． $#$

附注：更强的结论

更进一步：我们证明 $κ (x, C) = 0$ ．对任意 $y \in C$ ，作 Jordan 分解 $y = y_{s} + y_{n}$ ，由 Killing form 的双线性知

κ (x, y) = κ (x, y_{s}) + κ (x, y_{n}) .

第一步表明 $y_{s}, y_{n} \in C$ ，第二步表明 $y_{s} \in H$ ，于是一方面 $x$ 与 $y_{s}$ 可换，另一方面 $κ (x, y_{s}) = 0$ ．此外，由第二步知由 $ad y_{n}$ 幂零、 $x$ 与 $y$ 可换，线性代数引理给出 $ad x ad y_{n}$ 幂零，因此 $κ (x, y_{n}) = tr (ad x ad y_{n}) = 0$ ．因此 $κ (x, y) = 0$ ，从而 $κ (x, C) = 0$ ．

回到原题． 由 Claim 可知，若 $h \in H$ ，则 $h$ 与 $C$ 中幂零元在 $κ$ 意义下均正交．因此对任意 $y \in C$ ，作 Jordan 分解 $y = y_{n} + y_{s}$ ，第二步表明 $y_{s} \in H$ ，因此

κ (h, y) = κ (h, y_{n}) + κ (h, y_{s}) = 0.

从而 $h$ 与 $C$ 中任一元素均 $κ -$ 正交，即 $κ (h, C) = 0$ ．但 $κ$ 在 $C$ 上不退化（上述推论），因此 $h = 0$ ．故 $κ$ 在 $H$ 上也不退化．

第四步： $C$ 幂零． 若 $x \in C$ 半单，第二步表明 $x \in H$ ，故 ${ad}_{C} x \in [C, x] \subset [C, H] = 0$ 当然是幂零的．若 $x \in C$ 幂零， ${ad}_{C} x$ 当然也幂零．最后若 $x \in C$ 任意，则 ${ad}_{C} x = {ad}_{C} x_{s} + {ad}_{C} x_{n} = {ad}_{C} x_{n}$ ，仍然幂零．由 Engel定理， $C$ 幂零．

第五步： $H \cap [C, C] = 0$ ． $κ$ 结合， $[H, C] = 0$ ，故 $κ (H, [C, C]) = 0$ ．但第三步说明 $[C, C]$ 不包含 $H$ 的非零元，否则由非退化性得到 $κ (H, H \cap [C, C]) \neq 0$ ，矛盾．

第六步： $C$ 是 Abel 的． 否则 $[C, C] \neq 0$ ．第四步已知 $C$ 幂零，且 $Z (C) \cap [C, C] \neq 0$ （参见这个命题）．设 $z \neq 0$ 为 $Z (C) \cap [C, C]$ 的一个元素，由第二步和第五步知 $z$ 不能是半单的：否则落在 $H$ 中，故落在 $H \cap [C, C]$ 中，故只能为 $0$ ．因此其幂零部分 $z_{n}$ 是非零的，第一步说明其位于 $C$ 中，再由 Jordan分解保持像空间的性质知其位于 $Z (C)$ 中，因此其与 $C$ 中元素可换，且 $ad z_{n}$ 与 $ad C$ 中元素可换．但第四步说明对 $y \in C$ ， $ad y$ 幂零，线性代数引理给出 $ad z_{n} ad y$ 幂零，故 $κ (z_{n}, y) = tr (ad z_{n} ad y) = 0$ ，从而 $κ (z_{n}, C) = 0$ . 但 $z_{n} \in C$ ，推论表明 $κ (z_{n}, C) \neq 0$ ，矛盾！

第七步： $C = H$ ． 否则由第一、二步， $C$ 中含有一个非零的伴随表示幂零元 $x$ ．第六步表明 $[{ad}_{L} x, {ad}_{L} y] = 0$ ， $\forall y \in C$ ，线性代数引理给出 $κ (x, y) = 0$ ．故 $κ (x, C) = 0$ ，但推论表明 $κ (x, C) \neq 0$ ，矛盾！ $◻$

推论：Killing form 限制在极大环面子代数上非退化

$κ |_{H}$ 非退化．

附注：通过

H^{*}

来辨别

H

上述推论表明，可以通过 $H^{*}$ 来辨别 $H$ ，因为

{κ (h, \cdot) : h \in H} = H^{*} .

对 $φ \in H^{*}$ ，记 $t_{φ}$ 为使 $φ (h) = κ (t_{φ}, h), \forall h \in H$ 的元，这就将 $Φ$ 对应到 $H$ 的子集 ${t_{α} : α \in Φ}$ ．

正交性（Orthogonality property）

在这一节中，我们将通过 Killing form获得有关根空间分解的更多细节．我们已经知道，当 $α + β \neq 0$ 时 $L_{α}$ 与 $L_{β}$ 是 $κ -$ 正交的；特别地， $κ (H, L_{α}) = 0$ ， $\forall α \in Φ$ ，以致 $κ$ 在 $H$ 上的限制是非退化的．

？我怎么看不懂这句英文

性质：

Φ

的正负对应根

（根是极大环面子代数的基） $Φ$ 张成 $H^{*}$ ；
（非零根一定正负成对出现） $α \in Φ \Rightarrow - α \in Φ$ ；
（正负非零根空间元素的李括号）若 $α$ 为根， $x \in L_{α}$ ， $y \in L_{- α}$ ，则
$[x, y] = κ (x, y) t_{α},$
这里 $t_{α}$ 为使 $\forall h \in H, α (h) = κ (t_{α}, h)$ 的元，或“ $κ$ 意义下将 $α$ 作为 Riesz 表示的向量”；
（正负非零根李括号仅张成一维代数）若 $α$ 为根，则 $[L_{α}, L_{- α}]$ 为以 $t_{α}$ 为基的一维代数；
若 $α$ 为根，则 $α (t_{α}) = κ (t_{α}, t_{α})$ 非零；
（神秘 ${sl}_{2} (F)$ ）若 $α$ 为根， $x_{α} \in L_{α}$ 非零，则存在 $y_{α} \in L_{- α}$ 使得 $x_{α}, y_{α}, h_{α} = [x_{α}, y_{α}]$ 张成三维单李代数 $L$ ，且 $L ≅ {sl}_{2} (F)$ 通过 $x_{α} \mapsto x$ ， $y_{α} \mapsto y$ ， $h_{α} \mapsto h$ ．
$h_{α} = \frac{2 t_{α}}{κ (t_{α}, t_{α})}$ ； $h_{α} + h_{- α} = 0$ ．

证明： 暂略．

附注：6 的构造

对任意 $0 \neq x_{α} \in L_{α}$ ，取 $y_{α}$ 使得

κ (x_{α}, y_{α}) = \frac{2 t_{α}}{κ (t_{α}, t_{α})}

再取 $h_{α} = \frac{2 t_{α}}{κ (t_{α}, t_{α})}$ ，则 $x_{α} \mapsto x$ ， $y_{α} \mapsto y$ ， $h_{α} \mapsto h$ 给出其张成的李代数到 ${sl}_{2} (F)$ 的一个同构．

整性（Integrality properties）

对任一对根 $α, - α$ ，令 $S_{α} ≅ {sl}_{2} (F)$ 为由上述附注构造的一个子代数，由 Weyl定理及不可约模的权空间刻画定理，对 $S_{α} -$ 模，我们有如下的性质：

命题：

设 $α$ 为根， $h_{α}$ 由上面的命题给出．

若 $α$ 为根，则 $\dim L_{α} = 1$ ；特别地， $S_{α} = L_{α} + L_{- α} + H_{α}$ ，这里 $H_{α} = F t_{α} = [L_{α}, L_{- α}]$ ，且对于任意非零 $x_{α} \in L_{α}$ ，都存在 $y_{α} \in L_{- α}$ 使 $h_{α} = [x_{α}, y_{α}]$ ．
若 $α$ 为根，其常数倍 $k α$ 也为根，则 $k = \pm 1$ ．
若 $α, β$ 为根，则 $β (h_{α}) \in Z$ ，且 $β - β (h_{α}) α \in Φ$ ．称 $β (h_{α})$ 为 Cartan 整数（Cartan integers）．
若 $α, β, α + β \in Φ$ ，则 $[L_{α}, L_{β}] = L_{α + β}$ ．
若 $α, β \in Φ$ ， $β \neq \pm α$ ，令 $r, q$ 分别为使 $β - r α$ 、 $β + q α$ 为根的最大正整数，则全体 $β + i α, - r \leq i \leq q$ 均为根，且 $β (h_{α}) = r - q$ ，
$L$ 作为李代数由其根空间生成．

有理性（Rationality property）

设 $L$ 为特征 0 代数闭域上半单李代数， $H$ 为一极大环面子代数， $Φ \subset H^{*}$ 为 $L$ 的根系（关于 $H$ ），上述已经证明

L = H \oplus ⨁_{α \in Φ} L_{α}

为根空间分解．

由于 $κ |_{H}$ 非退化，我们可以将其形式转移到 $H^{*}$ 上，通过如下的“内积”：

记号约定：内积

对 $α, β \in H^{*}$ ，定义内积 $(α, β) := κ (t_{α}, t_{β})$ ．

在这一内积下，我们有

β (h_{α}) = β (\frac{2 t_{α}}{κ (t_{α}, t_{α})}) = \frac{2 β (t_{α})}{κ (t_{α}, t_{α})} = \frac{2 κ (t_{β}, t_{α})}{κ (t_{α}, t_{α})} = \frac{2 (β, α)}{(α, α)} \in Z .

命题：任一根可表示为根形式的基的有理线性组合

取 $H^{*}$ 的一组作为根的基 ${α_{i}}_{i = 1}^{l}$ ．若 $β$ 为根，则我们可将 $β$ 写为 $\sum c_{i} α_{i}$ ，这里 $c_{i} \in Q$ ．

证明： 这是因为 $c_{1}, \dots, c_{n}$ 是如下方程组的根：

(\frac{2 (β, α_{1})}{(α_{1}, α_{1})}, \dots, \frac{2 (β, α_{l})}{(α_{l}, α_{l})}) = (c_{1}, \dots, c_{l}) (\begin{matrix} \frac{2 (α_{1}, α_{1})}{(α_{1}, α_{1})} & \frac{2 (α_{1}, α_{2})}{(α_{2}, α_{2})} & \dots & \frac{2 (α_{1}, α_{l})}{(α_{l}, α_{l})} \\ \frac{2 (α_{2}, α_{1})}{(α_{1}, α_{1})} & \frac{2 (α_{2}, α_{2})}{(α_{2}, α_{2})} & \dots & \frac{2 (α_{2}, α_{l})}{(α_{l}, α_{l})} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{2 (α_{l}, α_{1})}{(α_{1}, α_{1})} & \frac{2 (α_{l}, α_{2})}{(α_{2}, α_{2})} & \dots & \frac{2 (α_{l}, α_{l})}{(α_{l}, α_{l})} \end{matrix}) .

这里右边全是整数，左侧也全是整数，因此方程的解落在 $Q$ 中．注意由于 $α_{i}$ 张成 $H^{*}$ 且 Killing form 非退化， $((α_{i}, α_{j}))$ 非奇异，因此右侧矩阵也是非奇异的．结论：这样的解唯一且落在 $Q$ 中． $◻$

令 $E_{Q} = {span}_{Q} Φ$ ，则 $E_{Q}$ 是 $H^{*}$ 的一个 $Q -$ 子空间，其 $Q -$ 维数为 $\dim_{Q} (E_{Q}) = l = \dim_{F} (H^{*})$ ．更进一步，我们有“Parseval 等式”

(λ, μ) = κ (t_{λ}, t_{μ}) = tr (ad t_{λ} ad t_{μ}) \overset{⋆}{=} \sum_{α \in Φ} α (t_{λ}) α (t_{μ}) = \sum_{α \in Φ} (α, λ) (α, μ) .

这里的 $\overset{⋆}{=}$ 是因为 $ad t_{λ}$ 作用于 $L_{α}$ 相当于乘上标量 $α (t_{λ})$ ，且 $ad t_{λ} (H) = 0$ ．

特别地，我们有

(β, β) = \sum_{α} (α, β)^{2} .

两边同时除以 $\frac{(β, β)^{2}}{4}$ ，得到

\frac{4}{(β, β)} = \sum_{α \in Φ} \frac{4 (α, β)^{2}}{(β, β)^{2}} .

右端是一系列整数的平方和．这就说明 $(β, β) \in Q_{> 0}$ ，且 $(a, b) \in Q$ ．因此 $E_{Q}$ 中的所有向量的内积都是有理的，故我们得到 $E_{Q}$ 上一个非退化形式．注意 $(λ, λ) = \sum_{α} (α, λ)^{2} > 0$ ，因此这一形式是正定的．

现设 $E$ 是一个实向量空间，其通过将 $E_{Q}$ 的基域改为 $R$ 得到，即

E = R \otimes_{Q} E_{Q} .

且 $E_{Q}$ 上内积典范地延伸到 $E$ 上，也是正定的．则 $E$ 是一个欧氏空间，其基在 $Φ$ 内，且 $\dim_{R} E = l$ ．下面的定理总结了关于半单李代数 $L$ 的根系 $Φ$ 的一些基本事实：

定理

设 $L$ 是一个半单李代数，基域 $F$ 为特征 0 代数闭域， $H$ 为 $L$ 的一个极大环面子代数， $Φ \in H^{*}$ 为 $L$ 关于 $H$ 的根系，则

L = H \oplus ⨁_{α \in Φ} L_{α}

为根空间分解，且 $E = R \otimes ({span}_{Q} {α : α \in Φ})$ ．则

$Φ$ 有限、张成 $E$ ，且 $0 \notin Φ$ ；
若 $α \in Φ$ 则 $- α \in Φ$ ，但无其它的倍数；
若 $α, β \in Φ$ ，则 $β - \frac{2 (β, α)}{(α, α)} α \in Φ$ ；
若 $α, β \in Φ$ ，则 Cartan 整数 $\frac{2 (α, β)}{(α, α)} \in Z$ ．

笔者注：根系的计算

我们来试试计算 ${sl}_{3} (F)$ 的根系．

例子：计算

{sl}_{3} (F)

的根系

$L = {sl}_{3} (F)$ 的一组基为

e_{12}, e_{13}, e_{23}, e_{21}, e_{31}, e_{32}, e_{11} - e_{22}, e_{11} - e_{33} .

取极大环面子代数为 $H = {span}_{F} (e_{11} - e_{22}, e_{11} - e_{33})$ ．
设 $α \in H^{*}$ 为根，则其对应的根空间为

L_{α} := {x \in L : [h, x] = α (h) x, \forall h \in H} \neq 0.

这说明 $h$ 对 $x$ 的伴随作用相当于标量 $α (h)$ 对 $x$ 的数乘，即 $α (h)$ 为 $ad h$ 的一个特征值， $x$ 为对应的特征向量．这启示我们去寻找 $ad h$ 的特征向量，并由此确定特征值 $α (h)$ ．
对 $h = diag (h_{1}, h_{2}, h_{3})$ ，我们先求出其伴随表示限制在 $L$ 上的结果．为此，我们来对 $L$ 的生成元进行计算．
$L$ 的生成元分为非对角生成元 $e_{i j}$ （ $i \neq j$ ）及对角生成元 $e_{i i} - e_{j j}$ （ $i \neq j$ ）． $e_{i i} - e_{j j}$ 生成 $H$ ，故没有对应的根；对 $L$ 中的非对角生成元 $e_{i j}$ ，计算得

ad h (e_{i j}) = [h, e_{i j}] = h e_{i j} - e_{i j} h = (h_{i} - h_{j}) e_{i j} .

因此 $e_{i j}$ 是 $ad h$ 的一个特征向量，其对应的特征值为 $h_{i} - h_{j}$ ．如果记 $ε_{i j}$ 是 $e_{i j}$ 的对偶向量，这说明 $(ε_{i i} - ε_{j j}) (h)$ 是特征向量 $e_{i j}$ 对应的特征值，故 $ε_{i i} - ε_{j j}$ 是一个根．由正负根配对， $ε_{j j} - ε_{i i}$ 也是一个根．
以上就确定了 $6$ 个根： $ε_{i i} - ε_{j j}$ ， $i \neq j$ ．注意 $L$ 是 $8$ 维的， $H$ 是 $2$ 维的，每一个根空间 $L_{α}$ 都是 $1$ 维的，因此根空间分解

L = H \oplus ⨁_{i = 1}^{6} L_{α_{i}}

分解已完成，故 $L$ 的根系为 $Φ = {ε_{i i} - ε_{j j} : 1 \leq i \neq j \leq 3} .$ $◻$

上例中生成元是特征向量并非偶然．事实上，若 $s$ 为 $L$ 中半单元，则 $ad s$ 半单，其在 $L$ 的一组基下 $ad s$ 为对角阵，该对角阵各元素即是 $ad s$ 的特征值，这组基即是其特征向量．

另一方面，注意到极大环面子代数 $H$ 是 Abel 的，其上 $[x, y] = 0$ ；因此在 $L$ 中有

[{ad}_{L} x, {ad}_{L} y] = {ad}_{L} [x, y] = 0.

这说明 ${ad}_{L} x$ 与 ${ad}_{L} y$ 可换，线性代数的基础知识表明 $x, y$ 的伴随表示可同时对角化；进一步， $H$ 中全体元素的伴随表示可同时对角化．这说明可以取一组特征向量基 $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ 张成整个空间 $L$ ，且 $e_{1}, \dots, e_{n}$ 的对偶基将 $h \in H$ 的伴随表示打到 $ad h$ 对特征向量 $e_{1}$ 的特征值．特哵地，如果把 $e_{1}, \dots, e_{n}$ 的对偶基记作 $e^{1}, \dots, e^{n}$ ，则

ad h (x) = diag (h_{1}, \dots, h_{n}) = h_{1} e^{1} (x) e_{1} + \dots + h_{n} e^{n} (x) e_{n}, e_{i} (h) = h_{i} .

这里将 $e_{i}$ 视作 $e_{i}$ 在 $H^{* *}$ 中的自然对应元素．
因此，对任意 $x \in F e_{i}$ ，都有

[h, x] = ad h (x) = h_{i} x = e_{i} (h) x .

由根的定义， $e_{i}$ 即为 $L$ 的一个根，且其对应的根空间为 $L_{e_{i}} = F e^{i}$ ．

例如，在上面 ${sl}_{3} (F)$ 的例子中，可以这样变为程序化的计算．考虑在 ${sl}_{3} (F)$ 的基在排列顺序

e_{11} - e_{22}, e_{11} - e_{33}, e_{12}, e_{13}, e_{23}, e_{21}, e_{31}, e_{32}

下，计算可得 $h = diag (h_{1}, h_{2}, h_{3})$ 的伴随表示矩阵为

ad h = diag (0, 0, h_{1} - h_{2}, h_{1} - h_{3}, h_{2} - h_{3}, h_{2} - h_{1}, h_{3} - h_{1}, h_{3} - h_{2}) .

则 $ad h$ 已被对角化， $ad h (x) = \sum_{1 \leq i \neq j \leq 3} (h_{i} - h_{j}) ε_{i j} (x) e_{i j}$ ．注意

(ε_{i j} \circ ad h) (e_{i j}) = h_{i} - h_{j}

定义 $α_{i} (h) := (ε_{i j} \circ ad h) (e_{i j})$ ，则 $α_{i}$ 就是根．将其展开即得．

总结一下，关于特定的极大环面子代数 $H$ ，计算其对应根系的程序是：

算法：给定极大环面子代数

H

，计算根系的保姆级算法

首先，对任意的 $h \in H$ ，其为半单元，因此其伴随表示也是半单的，故 $ad h$ 可对角化；由于 $H$ 是 Abel 代数，故对任意 $x, y \in H$ ， $x, y$ 的伴随表示是可换的，这就说明 $H$ 可在一组特征向量基下同时对角化．
对任意 $h \in H$ ，我们计算 $ad h$ 的特征值及特征向量．

首先求出 $ad h$ 的矩阵：设 $L$ 由基 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 张成，在这一顺序下，计算矩阵元 $ad h = ([h, x_{1}], [h, x_{2}], \dots, [h, x_{n}]),$ 这里第 $i$ 项是在 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 这组基下， $[h, x_{i}]$ 的坐标表示的列向量．
然后求 $ad h$ 的特征值．其特征值是其特征多项式 $φ_{ad h} (λ) = det (ad h - λ I_{n})$ 的根．
然后求 $ad h$ 的特征向量．对某特征值 $λ$ ，其对应特征向量是方程组

(ad h - λ I) v = 0

的一个解 $v$ ．注意由半单性，该方程组的基本解的维数与 $λ$ 的代数重数应当相同．
6. 将 $ad h$ 对角化：设这组基为 $e_{1}, \dots, e_{n}$ ，其列向量坐标排成矩阵 $P = (e_{1}, \dots, e_{n})$ ，则

ad h = P D P^{- 1},

$D$ 是对角阵， $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ ．
7. 因此，设 $e_{i}$ 在 $L^{*}$ 中的对偶基为 $e^{i}$ ，则线性变换 $ad h (x) = λ_{1} e^{1} (x) e_{1} + \dots + λ_{n} e^{n} (x) e_{n}$ ．对某一特定的特征向量 $e_{i}$ ，我们有

(e^{i} \circ ad h) (e_{i}) = λ_{i} e^{i} (e_{i}) = λ_{i} .

注意到 $H$ 中所有元素可同时对角化，所有的 $e_{i}$ 都分别对应相同，因此 $e^{i}$ 、 $e_{i}$ （二重对偶版）也分别对应相同，故线性泛函 $α_{i} (h) := (e^{i} \circ ad h) (e_{i})$ 是良定义的．
8. 因此，对 $x \in F e_{i}$ ， $[h, x] = α_{i} (h) x$ 对全体 $h \in H$ 成立，这就说明 $F e_{i}$ 为 $α_{i}$ 对应的根空间， $α_{i}$ 是一个根．
9. 最后，用 $L$ 的基凑出 $α_{i}$ 的形式即可．

注意

如果是可以自己选的话，一般将 $H$ 选为对角元张成的矩阵，因为对任意非对角基 $e_{i j}$ ，其均为对角元矩阵 $diag (h_{1}, \dots, h_{n})$ 的特征向量．确切地说，

diag (h_{1}, \dots, h_{n}) e_{i j} = h_{i} - h_{j} .

这样一来，就可以省去求特征向量的麻烦．

例子：

{sl}_{n} (F)

的根系

上面的例子中已经提到， ${sl}_{n} (F)$ 的一个极大环面子代数为其全体对角基生成的子代数：

H = {span}_{F} {e_{i i} - e_{j j} : 1 \leq i < j \leq n} = {\sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_{i i} : \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 0} .

下面我们来计算根空间，由此来确定根．考虑到对任意 $h = diag (h_{1}, \dots, h_{n}) \in H$ ，容易验证

[h, e_{i j}] = (h_{i} - h_{j}) e_{i j} .

因此 $ad h$ 的特征向量为 $e_{i j}$ ， $i \neq j$ ，对应的特征值为 $h_{i} - h_{j}$ ．取 $α := ε_{i i} - ε_{j j}$ ，就有 $α (h) = h_{i} - h_{j}$ ，这里 $ε_{i j}$ 为 $e_{i j}$ 的对偶基．从而根系为 $Φ = {ε_{i i} - ε_{j j}, 1 \leq i \neq j \leq n}$ ．

Deepseek 生成的知识点总结

8.1 极大环面子代数与根（Maximal Toral Subalgebras and Roots）

8.2 H 的中心化子（Centralizer of H）

8.3 正交性质（Orthogonality Properties）

8.4 整性性质（Integrality Properties）

8.5 理性性质与总结（Rationality Properties. Summary）

总结

极大环面子代数与根

环面子代数（toral subalgebra）

根、根系与根空间分解（Cartan 分解）

极大环面子代数的性质

正交性（Orthogonality property）

整性 （Integrality properties）

有理性（Rationality property）

笔者注：根系的计算

整性（Integrality properties）